对称的事物生成具有一种能够掌控的美感。那不单单指我们熟悉的拥有姓名的轴对称，中心对称，包罗轮回，以及n边形那种对称，图形上任何平移，扭转，翻折变革下的稳定都给我们的不雅感带来温馨，以至递归图的放缩稳定性也让人振奋。而超脱图形以外，任何操做上的对称稳定性都让数学魔术师们兴奋，因为那意味着，世界上又有一个角落，容我去缔造奇观了。
在详细图像操做和笼统的序列操做对称之间扭捏的，有一类对称现象不能不提，那就是语言文字的对称性。
语言文字是人类文明的灵魂，也是其更大的承载渠道。无论是哪国的语言，仍是世界通用的阿拉伯数字，其单个字符符号的图形设想上，天然就讲究各类对称的美感的。才疏学浅，我会的语言不多，那就挑阿拉伯数字，英文字母，以及汉字中的对称字符来和各人聊聊吧。
今天先聊最简单也最熟悉的阿拉伯数字。
阿拉伯数字印象
那些符号，你不会不熟悉吧？你想过它们的对称性设想吗？
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
别小看那10个字符，设想那可谓是一个精妙，当人类确定要利用印度人创造的阿拉伯数字的时候，可是履历了无数的战争和杀戮的残酷博弈的。不外本篇不去系统介绍阿拉伯数字的由来了，在进造编码的相关章节，天然会说到。
那那几代表个位数的图案，事实有什么特点呢？
不知实假，把它写成以不带弯曲的折角形式的时候（我不晓得那个叫什么字体，当然也可能压根就没有那种字体），刚好是几个内角就对应数值概念的几，凭仗记忆从手机里还找到了那张图。
阿拉伯数字的角
当然其实不晓得那能否就是印度人设想那些符号的设法，因为看上去那些计算角数量的规则仍是有些牵强，好比到底是数锐角，仍是不超越曲角的角？（8数了钝角），7和9的处所添加的那些横线和弯钩也太牵强了吧，此外都是有棱有角的数字，为啥偏偏0就是一个实的圈？不外做为启蒙而言，让孩子去通过那种联系关系去记忆那些符号代表的值，也仍是有价值的。
那在阿拉伯数字符号里，到底有几种对称呢？
阿拉伯数字的自对称
起首，本身就是对称图形的阿拉伯数字有：0,1,8。那三个自己是近似的摆布轴对称图形，若是接纳晶体管数字的写法，他们也都是上下对称的轴对称图形，是典型的D2对称（也叫Klein-4 group，其所有单元元以外元素的阶都是2），如图所示：
Klein-4 Group
那个图形天然地把两个翻折操做组合起来，竟然能够构成一个扭转180度效果的中心对称性，也是那个构造重要的性量。证明两条垂曲对称轴能够带来一个中心对称性是挺有意思的群论根底问题，能够按照群的定义或者曲角坐标内的对应点关系证明，各人有兴趣能够本身推导。
而数字若是用斜体手写的话，那那些数字立马又都酿成了仅是中心对称的情况，也就是C2对称的。总之那里有良多变数，能够按照需要写成我们要的样子，哪怕后面会看到有些时候有些牵强。好比你能够把0丧尽天良地写成汉字〇的容貌，那就是个无限阶的轮回对称图形了；而1和8，你也能够竭尽所能通过写法去毁坏中心对称和两个轴对称性，或者按照需要保留部门。
别的，2和5那两个数的晶体管写法本身是呈现中心对称的，但是更奇异的是他们互相的关系，我们接着往下看。
阿拉伯数字的互对称性
除了本身的对称，在阿拉伯数字里，还有一种非常有趣的形式，那就是互为对称的图形对（无序二元组）。典型成立的有互为中心对称的6和9，若是是晶体管数字的话，还有一组2,5，他们互为轴对称。
曲不雅上，图形本身的对称和互为对称那种关系似乎很好区分。但是从对称是“某性量在某操做下的稳定性”那一条定义看来，本身对称很好说，但那里互为对称是啥意思？到底是什么性量，什么操做下稳定？你此中一个图形颠末翻折，扭转等操做以后，不是酿成另一个图形了吗？那描述的明明是一组对应关系，啥稳定了呢？
其实仍是有稳定的工具的，那就是，新图形和旧图形构成的那个整体图形，是一个关于原操做稳定的对称图形。用群论的话说，就是该操做构成一个C2的对称群，而本来的图形只是那个群内的初始元素罢了，它不克不及定义那个群，操做才是，那些元素以至只是描述那个操做的一个例子。换个图形来，半数，扭转180度，同样能构造出对称图形，图形纷歧样，那个操做才实的生成和定义了那个群。至于最初那个生成的图形具有对称性，只不外是生成的对称群该有的性量罢了。
从那个角度看，也能够把本身就对称的图形，想象成存在那么一种生成关系，是由两个原始图互相对称然后生成出来的。而任何图形都是个关于一动不动，类似于转360度如许操做对称的图形，是C1群了。
所以你看，不往深处想，底子没把互为对称那种关系零丁拎出来想过，它的重点在于那个操做，其实对选哪个图形而言，都是对称的。反过来，实的对称图形，也必然能够拆解成如许所谓互为对称的两个子部（其实是C2群内的两个操做前后的元素），并集才是完好图形。
如许来看，我们的6和9以及晶体管的2和5，只是茫茫图形中契合了前后互为中心和轴对称的两组图案罢了。巧的是它们刚好都是阿拉伯数字，都拥有姓名罢了。而晶体管的2和5，你也能够把它拆解成上下的两个根本单位，由扭转180度得到别的一个。故本身的中心对称由此而来，而其轴对称的对象则是2到5的对称关系来的。
在魔术的应用上，若是操做完以后稳定，或者酿成特定的成果，那都是我们能够操纵来设想魔术的哟！
阿拉伯数字对称性再摸索
那那些阿拉伯数字中间，还有哪些有趣的对称关系呢？
有个有趣的处所，在那个数字3和8的关系上，8是3左侧对称轴对称过去以后构成新旧图形的并集，而3能够看做是8那个轴对称（中心对称的话得要求上下两个圈一样大）图形的一种生成图形。留意那种生成图形能够有良多，好比还完全可能是S加上轴对称哦！
那你能说出3和8那两个图案的关系吗？
明晰的描述是：8是3那个元素，在沿着其左侧竖曲轴轴对称那个操做下生成的C2群的所有2个元素的并集，就像正多边形的一条边和整个图形的关系一样。
你看整个阿拉伯数字里，就只要4和7那两个孤零零的元素和任何本身对称，互为对称，或者做为其他对称图案的生成元的关系搭不上边了，其余的都或多或少地和对称有一丝联络。那应该根本能够说，对称性是阿拉伯数字的一种重要的美学设想点了。而哪怕是4和7，也有和其他元素奇异的对称关系在，我们后面介绍魔术的部门再揭晓。
阿拉伯数字对称思虑题
在总结的过程中，我还发现一个有趣的问题，若是将范畴限制在印刷体的3位数，那满足中心对称的有几个？
你无妨思虑一下再往下看。
那个问题考察根底的本身对称，互为对称的概念内涵，以及分类讨论，摆列组合，乘法/加法原理，当然还有三位数的定义，十分合适做为一个综合数学素养的考察标题问题。
起首，处在中间位置的数必需是本身中心对称的，则有0，1，8三种可能，那个选项使得其它所有解都要乘以3。
再来看前后两个位置，要使得中心对称成立，它们要么互为对称，要么本身是对称图形，且两个都是本身。按照加法原理分类讨论，后者很简单，就是0，1，8三对数字，但0不克不及做百位，只要2种；前者的话，其实仅有6和9那一对，但是，因为两个数字差别，因而占据的两个位置能够看做是能够摆列的，故有69和96两个选项，于是总共有5个选项。
综上，一共有12个如许的中心对称三位数，若是算上25那一对，那就是18个，你想对了吗？
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来源：MatheMagician
编纂：万象
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