2.7
常识分子
The Intellectual
摄影/ PRedrag Cvitanović ，Flickr
撰文|丁玖（南密西西比大学数学系传授）
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做为混沌理论的前驱，米切尔·费根鲍姆(Mitchell Feigenbaum，1944年12月19日-2019年6月30日)是个不同凡响的科学家，在进入学术界的头四年，他只颁发了一篇学术文章，事实上他一生也只颁发独立完成或与人合做的27篇科学论文。
他毫不逃求挤文章、出功效、“拿项目”、图虚名，而是只停止花再多时间也必然要满足本身猎奇心非搞个真相大白不成的科学逃求。出名的“费根鲍姆普适常数”就是那种固执精神浇灌出的斑斓花朵。
那个在纽约城长大的犹太移民后嗣，他一生都不循序渐进，出格喜好自学：少年时自学弹钢琴，高中时自学微积分，大学时自学广义相对论。本科专业为电机工程的他，却在四年内修完了所有的数学和物理课。
1964年，费根鲍姆进入麻省理工学院读电子工程的研究生，但很快转读物理，于1970年获得博士学位。在接下来的四年中，他在康奈尔大学和佛吉尼亚理工学院暨州立大学各待了两年，总共只颁发了一篇学术论文，是个产量极低的初出茅庐者。
在年轻人学术生活生计的早期，如许少的论文记录如在中国的大学，根本上属于“非升即走”的那类命运欠安者。
1974年，费根鲍姆被招募进了一个出名的国度尝试室。费根鲍姆对未知世界的摸索精神，他的顶头上司对他的听任自在，他的研究情况对他的正面影响，让他在4年后完成了出名的论文《一个非线性变更类型的量子普适性》。
他也因为那项开辟性的工做获得了1986年的沃尔夫物理学奖(Wolf Prize)，颁奖理由是：“以表扬他创始性的理论研究，证了然非线性系统的遍及特征，那使得对混沌的系统研究成为可能。”
那篇文章将简要地回忆他的一生并描画他那极具缔造性的出名工做，那项工做的降生值得科学工做者和科学界办理人士们细细回味。
1
只颁发过一篇论文的青年物理学家
1987年首版、二十年内销售了一百万册的美国畅销书《混沌：创始一门新科学》(Chaos: Making a New Science)，在第一章开头，就生动地描画了一幅夜景：“1974年，在新墨西哥州的小城洛斯阿拉莫斯，差人们曾一度担忧地留意到一位夜复一夜在后街上踱来踱去的汉子，他燃着的烟头红点在黑夜中飘忽不定。”那个汉子就是费根鲍姆，披着长发的他像一个“鬼魂”，深夜经常在雇他而来的洛斯阿拉莫斯国度尝试室附近的街道上游荡。
上世纪七十年代的洛斯阿拉莫斯国度尝试室，早已从三十年前美国“原枪弹之父”罗伯特·奥本海默(Robert OpPEnheimer，1904-1967)指导的“曼哈顿工程”时的战时严重中缓和过来。虽然绝大大都的科学家“像兵士从战壕撤离一样回到各自的大学教书”，但那个曾经一片荒凉的处所已生长为一个引诱年轻人的超等“吸引子”，也是拥有大型计算机最多的全美科学研究中心之一。
洛斯阿拉莫斯国度尝试室理论部的新主任彼得·卡拉瑟斯(Peter A. Carruthers，1935-1997)和三十年前的老主任汉斯·贝特(Hans Bethe，1906-2005)一样，也来自康奈尔大学物理系，事实上他的博士论文指点传授就是贝特。1973年到任后，他做的第一件事就是辞退了几位高级研究员，而代之以他所精心挑选的新颖血液。当费根鲍姆第二年被他雇用时，还未进入而立之年，但已经佩带了四年粒子物理的博士帽子，在另两所出名大学的熔炉里锻造过。那位头发长长、囚首垢面的地道纽约城布鲁克林人，讲话时目光急转、语速飞快、激情四射。从美国东南部搬到西南部之后，同事们只看到他不同凡响地干活、安步、思虑，一天“二十五”个小时工做仿佛还嫌不外劲。
然而如前所述，到那时为行他只颁发过一篇论文。在将论文数量视为胜利标记的那些大学，大要前景暗淡，既难申请到国度级的研究基金，可能也会招致连锁反响，好比收入也可能会削减。在美国研究型大学走上“通往末身聘用之路(tenure track)”的新科助理传授，若是在六年试用期起头后持续几年没有在期刊上露过什么脸，那么半途收到的院长“三年考察陈述”也可能充满“警告之语”。若是继续不管文挂帅，下一个三年后试用期完毕时很可能就要卷铺走人。
“不颁发则消亡”似乎是不移至理的大学游戏规则，今日更甚，招致大量滥竽凑数论文以雨后春笋之势横行蛮横一些文明古国的学术市场。但是，卡拉萨斯完全不是那种只看文章数量不看论文立异性的部分指导，他深知缔造性研究不会是什么“研究方案”之后的产儿。他还清清晰楚地记得康奈尔大学的物理学传授、1980和1982年别离获得沃尔夫物理学奖和诺贝尔物理学奖的肯尼斯·威尔逊(Kenneth G. Wilson，1936-2013)，乍一看似乎也写不出什么论文，但无人敢说他缺乏对物理科学的洞察力。一旦他的思惟开了花，论文就会像潮流一般地滚滚而来。
威尔逊与美国物理学家里奥·卡丹诺夫(Leo Philip Kadanoff，1937-2015)及英国物理学家、化学家兼数学家迈克尔·费希尔(Michael Ellis Fisher，1931-2021)共享的沃尔夫奖，表扬了他们“打破性地开展了相变临界行为的一般理论”，而两年后威尔逊独得诺贝尔奖，“表扬他关于与相变相关的临界现象的理论”，包罗他同费希尔及卡丹诺夫针对相变问题提出的“重正化群”理论。他们研究物量在两种差别的形态之间临界区域的奇奥性量，譬如流体的液态和气态，或金属的磁化和非磁化。那时的复杂现象必需要用到非线性的数学来切确描述，那能够从液体突然沸腾时在它和气体的界面上看到的一团乱象来想象。
六十年代卡丹诺夫处置“临界现象”的重正化根本设法是把原子间的彼此联络用所谓的“标准变更”来描绘，即把一些看上去稳定的物理量，例如量量，看成似乎是跟着不雅测的标准而上下浮动，那和“分形之父”本诺瓦·曼德勃罗博(Benoit Mandelbrot，1924-2010)在六十年代末关于英国海岸线有多长的观点颇有异曲同工之处。但是，逾越标准的变革并不是是肆意的，而是遵照某种“类似性”的规律。威尔逊的严重奉献在于运用差别标准的“自类似性”，从而供给了计算可能性。
费根鲍姆被威尔逊的深入思惟迷住了，于是他要用自类似性的办法来对于湍流问题。湍流的特点之一就是自类似性：大涨落带有小涨落，大漩涡包罗小漩涡。有序流体进入混沌形态产生湍流，抽烟者看到袅袅上升的烟柱破裂成参差不齐的漩涡。但是混沌之中能否还存在有序？那是一个大问题。
当抽烟不行的费根鲍姆站在快要进入瀑布区域、起头加速的溪流前，他凝思凝视焦急速前进、哆嗦不已的水流，摆布摇摆着本身的头颅：
“你能够凝视着某种工具，好比一堆泡沫或此外什么。若是头动得出格快，你能够突然辨认出外表的整个构造，你能够从心中觉得到它。但是对任何有数学布景的人，当他看到那工具，或者仰望着累累浮云，或者在风暴中站在海堤上，他晓得关于那一实在际上什么也不懂。”
费根鲍姆决心要当科学的弄潮儿，研究新的科学。他有一种坚决不移的信念：迄今为行的物理科学还未能理解困难的非线性数学。做为物理学家，固然只要一篇颁发在他名下的论文，但是他大白“粒子物理”、懂得“量子场论”。他已经积累了差别范畴丰硕的常识，并已经掌握了最新呈现的计算手艺，只要沉下心来，抓住素质，就有可能破译天然世界还在隐藏着的密码。正如后来他的顶头上司对此评价道：
“费根鲍姆具有准确的布景。他在准确的时候做了准确的工作，并且做得很超卓。他不是做部分的工作，而是把整个问题弄清晰了。”
2
普适常数的降生
做为第一步，费根鲍姆找到最简单的非线性函数，就从生态学家罗伯特·梅(Robert May，1936-2020)比来考虑过的阿谁描写种群数目变革的带参数二次多项式函数——逻辑斯蒂映射族Sr(x) = rx(1-x)起头了他的数值试验。远在普林斯顿大学的动物学梅传授通过脱手计算，发现了当种群增长率r从3逐步变大颠末一系列所谓的“分叉点”r0 = 3, r1 ≈ 3.45, r2 ≈ 3.54,…后，映射迭代点序列的最末种群数目趋势于一个周期加倍而且不变的周期轨道，但是梅从数值上发现了分叉现象的倍周期规律后没有继续前进，更伟大的发现将由费根鲍姆完成。那时，费根鲍姆还不晓得他母校麻省理工学院的气象学传授、“混沌之父”爱德华·洛伦茨(Edward Norton Lorenz，1917-2008)在六十年代初做出的被形象化为“蝴蝶效应”的卓越成就，但在1975年炎天美国科罗拉多州的一次会议上，他听了加州大学伯克利校区的数学传授、1966年菲尔兹奖获得者斯提芬·斯梅尔(Stephen Smale，1930-)讲了统一个带参数函数的迭代由周期性变到混沌性的某些尚未处理的问题。斯梅尔灵敏的曲觉让费根鲍姆觉得到有进一步摸索的需要。
为此，费根鲍姆玩弄起了其时流行的 HP-65型手用计算器，把数学阐发与数值尝试连系起来，试图发现有序和混沌之间的桥梁。那座桥梁类似于流体中层流和紊流之间的通道。梅如许的生态学家已经看到跟着参数变革的种群数目倍周期分叉的规律。例如，在某一个分叉点只要稍稍改动一下非洲斑马的增长率，它们的数目变革规则就会从四年周期变到八年周期。费根鲍姆决定先算出那些分叉点参数的切确值。
慢腾腾的计算器好几分钟才气算出周期加倍的切确参数值，参数越往前推移，计算就越费工费时。那反而帮了费根鲍姆的大忙。他能够不迟不疾地把数据逐个抄下来，在期待下一个计算成果时能够静静地思索一番，以至还有余暇猜猜下一个的谜底会在哪里。若是三十年后的他从头起头那一项工做，用的是美国Cray公司造造的超等计算机，说不定一些有趣的成果稍纵即逝，某个重要的形式逃之夭夭，他也许有可能什么也发现不了。看来一点不假，在科学研究的磨坊里，像日耳曼民族人那样慢工出细活是完全值得的。
几个回合的计算一下来，费根鲍姆的眼睛突然一亮，就比如是意大利探险家克里斯托佛·哥伦布(Christopher Columbus，1451-1506)发现了美洲新大陆。那些分叉参数值呈现了某种有目共睹的规律性：它们似乎是以一种几何数列的变革形式向前推进，即目前值和前一个值的差与下一个值和目前值的差之比值数列最末趋势于一个固定常数。倍周期的降临不但越来越快，并且渐近地以某个天主摆设的恒定加速度越来越快。那种几何收敛的迹象表示着他，某种尚未人知的工具在差别的标准上反复。
那个“收敛常数”在费根鲍姆手里阿谁简单计算器上的更高精度是一个三位小数，他看到的是4.669那个数。他的脑海里马上就发出疑问的信号：那个奇异的新数和那些在数学的家族里大名鼎鼎的绝对常数π = 3.14159 … 或e = 2.71828 … 等等有亲戚关系吗？他翻箱倒柜地找来找去，“家谱花名册”中没有发现什么“关系户”。
过了两个月，费根鲍姆突然想到了他尝试室的三位同事：尼古拉斯·米特罗波利斯(Nicholas Constantine Metropolis，1915-1999)、保罗·斯坦(Paul R. Stein)，以及迈伦·斯坦(Myron L. Stein)；他们中的第一小我曾在原枪弹研造工程中替斯坦尼斯拉夫·乌拉姆(Stanislaw Ulam，1909-1984)创造的“随机试验法”起了个现今普遍利用的名字“蒙特卡洛”，第二小我在五十年代和乌拉姆合做切磋过电脑国际象棋试验。那三人在前几年研究过一些类似函数的迭代，并警告过费根鲍姆关于那些迭代“吓人的复杂性”。他们也曾经考察过其他一些带参数的函数族，而且发现它们共享某些形式。事实上，就是那前一个斯坦早在1963年就和乌拉姆合写过关于非线性阐发的文章，并在一段时间前曾经告诉过费根鲍姆，倍周期分叉的现象不但发作在如上的二次函数族上，它也发作在带有参数的正弦函数r sin (πx) 族上。想到那些，一个念头登时飞了出来，何不再瞧瞧那族正弦函数？说干就干，费根鲍姆又拿起与他形影不离的HP-66 计算器停止了新一轮倍周期分叉计算。没想到，新的参数分叉值相邻差分之比仍然是几何收敛的，但令人难以想象的是，其稳定的收敛速度仍是阿谁三位小数：4.669。
两个家谱相距甚远的函数族，一为三角函数，另一为二次多项式，一个是超越函数，另一个是代数函数，却有着某种一致的规律性，招致了一模一样的成果。费根鲍姆冲动得打德律风给他父母，告诉他们他也许因而而“名满全国”。接下来，他不辞劳怨、马不断蹄地试验了他能想得到的其他带参数的函数，好比另一种形式的带参数二次多项式 r–x2，分叉点产生的几何收敛速度常数无一破例地仍就是统一个数：4.669。
费根鲍姆又打德律风给资深的保罗·斯坦陈述那一动静，但保罗持思疑立场。究竟结果只要三位小数的精度，谁晓得第四位或到第八位能否都一样呢？怎么办？洛斯阿拉莫斯那个声名显赫的国度尝试室有的是大型计算机，过去费根鲍姆像其他理论家一样不大看得起计算机的机械性运行，从未去学过什么计算机语言或编程。如今，为了证明谁是更准确的，费根鲍姆起头进修编写计算机 FORTRAN 法式。借助于计算机的大方帮忙，第一天对那些函数他就得到统一个有五位切确度的常数：4.66920。当晚他又学会了如何利用“双精度”计算，第二天就得到如下的精度：4.66920160910，对所有试验过的函数族都一样。如今人们能够写下那个常数小数点后的前二十六位数字：4.66920160910299067185320382…。
费根鲍姆发现了“普适性”。那个放之四海而皆准的普适常数，是他强烈的计算猎奇心催生的宠儿。计算，给了他发现天然界宝藏的极佳时机，带给他阿里巴巴的芝麻开门。
3
实正的科学摸索是什么？
难以想象的是，费根鲍姆的工做并没有立即得到科学家的一呼百诺，也没有像李天岩(1945-2020)和詹姆斯·约克(1941-)于1975年在《美国数学月刊》(The American Mathematical Monthly)上颁发的李-约克混沌定理的深入思惟和严酷证明那样一会儿被科学界全盘承受。他由此写成的论文两年内被学术期刊频频拒稿，编纂们认为他的文章不宜颁发。所以他的履历上列出的“论文颁发一览表”持续几年仍然只要一项。
在科学史上，出人意料的首创性工做常遭厄运，学术权势巨子们经常武断地判处一个新思惟的死刑，曲至它可能死而复活。
贫病而死的挪威人尼尔斯·阿贝尔(Niels Abel，1802-1829)和决斗丧生的法国人埃瓦里斯特·伽罗瓦(Évariste Galois，1811-1832)之高次多项式方程、后半生痛苦的匈牙利人雅诺什·鲍耶(János Bolyai，1802-1860)和固执不已的俄罗斯人尼古拉斯·罗巴切夫斯基(Nikolai Lobachevsky，1792-1856)之非欧几里得双曲几何，都是寡所周知的例子。
后来被比利时-法国数学物理学家大卫·吕埃勒(David Ruelle，1935-)尊称为“日本吸引子”的发现者、日本京都大学电机系其时的研究生上田皖亮 (Yoshisuke Ueda，1936-)在1961年11月27日那天研究电子线路的一类叫做“杜芬振动子”的非线性常微分方程时发现了非常紊乱的现象，却被本身的导师视为“你的成果不过乎是概周期振动，不要提出什么与人掉臂的定态概念”，而痛失了“混沌”发现权的良机，曲到1970年才同意让他陈述那一重要发现。正如李天岩传授在登载于1988年的台湾普及杂志《数学传布》的一篇文章《关于“Li-Yorke混沌”的故事》中所为之可惜的那样：“头彩已经被洛伦茨抢走了。”
数学家们对费根鲍姆也有些疑虑，原因之一是他并未供给一个严酷的数学证明。1976年9月当他在洛斯阿拉莫斯召开的一个国际数学会议上向听寡介绍他的理论时，刚刚起讲，和乌拉姆合写过一本书《数学与逻辑：回忆与瞻望》(Mathematics and Logic: Retrospect and Prospects)的波兰裔出名数学家马克·卡茨(Mark Kac，1914-1984)就站起来毫不客气地“将他一军”：
“先生，您想给出数目字仍是给出证明？”
费根鲍姆回应道：“比前者多点，比后者少点。”
卡茨进一步诘难他：“是任何讲事理的人都称做证明的工具吗？”
做完陈述之后，当费根鲍姆七上八下地收罗卡茨的评论定见时，得到的反响是带有波兰口音、拖着“r”颤音的小小挖苦：
“是的，那公然是一个讲事理的人的证明，细节能够留给 r-r-rigorous （严酷的）数学家们来填上。”
事后不久，一位大致上还算比力严酷的数学家公然不负“卡茨”们的寡望。1979年，美国数学家奥斯卡·兰福特(Oscar Eramus Lanford，1940-2013)给出了“费根鲍姆定理”用计算机辅助证明的细节，固然那个“土法炼钢”法不见得那么地严酷。他的文章《费根鲍姆料想的计算机辅助证明》于1982年颁发在《美国数学会传递》(Bulletin of the American Mathematical Society)上，此中的一些小错五年后被两位维也纳大学的做者矫正，新文章登载在《统计物理杂志》(Journal of Statistical Physics)上，题目是“费根鲍姆料想的一个完全证明”。证明的结论是：对所有的带参数单峰函数，它们的分叉点数列都按那同样的普适常数行进着。所谓的“单峰函数”，望文生义，就是其函数图像看上去像一匹单峰骆驼的驼峰。它的外形只要一个山头，而不是山头主义者所喜好搞的多山头。
就像“四色定理”的计算机辅助证明一样，那类“计算机插手”的“拟数学证明”不容易获得庄重的数学家们的一致喝彩，因而，运用严酷的数学推理来论证费根鲍姆数值发现的阿谁常数的“普适性”，是一项诱人的事业。末于，在数人寻求“非数值办法”证明的勤奋根底上，乌克兰裔数学家米哈伊尔·柳比奇(Mikhail Lyubich，1959-)于1999年在《数学年鉴》(Annals of Mathematics)上颁发了关于费根鲍姆常数普适性的第一个完全的非数值证明。至于费根鲍姆常数自己，人们遍及相信它是一个像圆周率那样的超越数，但实正的证明尚未呈现。事实上，连那个数是不是无理数还没有必定的答复呢。数千年的数学史上有几英雄豪杰为了摸索圆周率而青史留名，包罗中国南北朝期间的数学家祖冲之(429-500)。然而曲到1768年，汗青才选中了约翰·兰伯特(Johann Heinrich Lambert，1728-1777)请他证明出圆周率是个无理数，他还不“画蛇添足”地推测它进而是个超越数。又过了超越一百年，1882年，德国数学家费迪南德·林德曼(Ferdinand von Lindemann，1852-1939)才圆了兰伯特的梦想，完全证明出π也是超越数。今天，面临费根鲍姆常数，数学家仍然“任重而道远”。
当然，费根鲍姆的创始性工做很快就获得了绝大大都人的认可和赞扬。尤其是1979年，当各人传闻一名意大利物理学家和一名法国物理学家通过尝试证明了倍周期分叉确实是按照他所预测的那样开展，他一会儿就大红大紫起来。他前几年的部门科学发现别离在1978年和1979年持续两年都颁发在德国斯普林格出书社发行的《统计物理杂志》上，此中第一篇的题目为“Quantitative Universality for a Class of Non-Linear Transformations”（一族非线性变更的量子普适性）。在1977年召开的第一届国际混沌大会上，物理学家约瑟夫·福特(Joseph Ford，1927-1995)如斯评述道：
“费根鲍姆看到了普适性，发现了如何做标准变更，而且给出了一条走向混沌的道路。它在曲觉上是诱人的。那是我们第一次有了一小我人都能理解的清晰模子。”
费根鲍姆以他聪慧的大脑做领导，用他勤恳的双手做东西，末于发掘出深藏不露的科学宝物，科学人士向他欢呼，科学机构向他招手，科学奖章向他浅笑。他的“普适常数”让他成为普全国名校争相掠取的明星人物。1982年，十二年前他曾去那里做过博士后的康奈尔大学间接给了他正传授的职称，但四年后他被位于他长大城市纽约的洛克菲勒大学挖去当“丰田讲座传授”。阿谁在学术会议上向他锋利责难的概率学家卡茨，曾在那所小而精的特殊大学待了二十年，但此时已经仙逝，不会再向他发问题了。回到家乡再当“纽约客”，费根鲍姆成了“不动点”，从此他待在那里，曲至逝世。
费根鲍姆获得的重要奖励包罗美国麦克阿瑟基金会1983年的麦克阿瑟奖(MacArthur Fellowship)和以色列沃尔夫基金会1986年的沃尔夫物理学奖(Wolf Prize)。后者的颁奖理由是：“以表扬他创始性的理论研究，证了然非线性系统的遍及特征，那使得对混沌的系统研究成为可能。”有趣的是此次物理奖的另一名获得者阿尔伯特·利布查伯(Albert Joseph Libchaber，1934-)不只是他刚加盟的洛克菲勒大学八年后的新同事，并且获奖理由也与他的类似：“以表扬他在动态系统中向湍流和混沌过渡的超卓尝试证明。”所以那一年沃尔夫物理奖出格钟情于“混沌”。
费根鲍姆的普适常数像外科医外行里的剪刀一会儿剪开了紧裹大天然头部的层层面纱，让那位羞答答的美女露出了楚楚动听的大眼睛。也就是说，普适性提醒出天然世界无序的表象裹住的有序内核。今天他被我们纪念，不只是因为他独得普适常数之光，并且是因为他不为浮云所驱，不为常规所绊，只为盯住持之以恒的目的，力求为科学发现的大厦加铺一层。
他的故事也再次启迪我们，实正的科学探险不是靠丰厚的政府基金做为保障，也不是凭巨额的商人赞助做为后盾。攀登科学之巅次要是那些视摸索天然奇迹为生命的“无意识行为”，只要小我拼命三郎般的不懈勤奋，才有可能抵达高峰。
参考文献：
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1.丁玖，智者的猜疑：混沌分形闲谈，高档教育出书社，2013。2.James Gleick, Chaos: Making a New Science, Viking, 1987.3.Wikipedia: Feigenbaum Constants, https://en.wikipedia.org/wiki/Feigenbaum_constants造版编纂 | 松仪
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